Question

8．如图（1），在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作BG⊥DE，使EG=DE，连接FG、FC．
（1）判断：FG与CE的数量关系是FG=CE，位置关系是FG∥CE．
（2）如图（2），若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图（3），若点E、F分别是边BC、AB延长线上的点，正方形ABD的边长为2a，GE=$\sqrt{5}$a（a＞0），其他条件不变，请直接写出四边形FGEB的面积（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形CEGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；
（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；
（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形，求出BF、FG、BE，利用梯形面积公式计算即可；

解答 解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE，
理由：如图1中，设DE与CF交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠CBF=∠ECD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．
故答案为：FG=CE，FG∥CE；

（2）结论仍然成立．
理由：如图2中，设DE与CF交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠CBF=∠ECD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．

（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，
在△CBF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠FBC=∠ECD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE，CF=EG=$\sqrt{5}$a，
在Rt△BCF中，BF=$\sqrt{C{F}^{2}-B{C}^{2}}$=a，
∴CE=BF=FG=a，BE=3a，
∴S_{四边形BEGF}=$\frac{3a+a}{2}$•a=2a²．

点评 本题三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形的面积公式等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．