Question

17．抛物线与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点抛物线上另有一点C（1，-5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求BC直线上方的一点P的坐标，使得△PBC的面积最大．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，则可设该抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），再把C（1，-5）代入即可；
（2）过P作y轴的平行线交BC于E，PE将△PBC分割成两个三角形△PBE，△PCE，它们的底相同，为PE，高的和为5，就可以表示它们的面积和，即△PBC的面积，运用二次函数的性质求最大值．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，
∴可设该抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），
把C（1，-5）代入，得-5=5a，解得a=-1，
∴此抛物线的解析式为y=-（x-2）（x-6），
即y=-x²+8x-12；

（2）如图，过P作y轴的平行线交BC于E，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），C（1，-5）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{k+b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
则BC的解析式为y=x-6．
设P点的坐标为（m，-m²+8m-12），则E点的坐标为（m，m-6）．
∴PE=（-m²+8m-12）-（m-6）=-m²+7m-6，
∴S_△PBC=S_△PBE+S_△PCE
=$\frac{1}{2}$×（-m²+7m-6）×5
=-$\frac{5}{2}$（m-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{125}{8}$．
∴当m=$\frac{7}{2}$时，△PBC面积最大，最大值为$\frac{125}{8}$．
当m=$\frac{7}{2}$时，-m²+8m-12=-$\frac{49}{4}$+8×$\frac{7}{2}$-12=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积及二次函数最大值问题，掌握待定系数法的方法与步骤，会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．