Question

18．如图，抛物线y=x²+2x与直线y=$\frac{1}{2}$x+1交于A、B两点，与直线x=2交于点P，将抛物线沿着射线AB平移$\frac{3}{2}\sqrt{5}$个单位．
（1）平移后的抛物线顶点坐标为（2，$\frac{1}{2}$）；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为$\frac{61}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，抛物线沿着射线AB平移$\frac{3}{2}\sqrt{5}$个单位时，点A向右平移3个单位，向上平移$\frac{3}{2}$个单位，根据平移的性质，可得平移后的顶点坐标．
（2）设抛物线向右平移a个单位，则向上平移$\frac{1}{2}$a个单位，抛物线的解析式为y=（x+1-a）²-1+$\frac{a}{2}$，令x=2，y=（3-a）²-1+$\frac{1}{2}$a，可得y=a²-$\frac{11}{2}$a+8，推出y=（a-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{7}{16}$，由0≤a≤3，推出y的最大值为8，最小值为$\frac{7}{16}$，又a=3时，y=$\frac{1}{2}$，根据点P的纵坐标的变化情形，即可解决问题．

解答 解：（1）由题意，抛物线沿着射线AB平移$\frac{3}{2}\sqrt{5}$个单位时，点A向右平移3个单位，向上平移$\frac{3}{2}$个单位，
∵抛物线y=x²+2x的顶点坐标为（-1，-1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，$\frac{1}{2}$），
故答案为（2，$\frac{1}{2}$）．

（2）设抛物线向右平移a个单位，则向上平移$\frac{1}{2}$a个单位，
抛物线的解析式为y=（x+1-a）²-1+$\frac{a}{2}$，
令x=2，y=（3-a）²-1+$\frac{1}{2}$a，
∴y=a²-$\frac{11}{2}$a+8，
∴y=（a-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{7}{16}$，
∵0≤a≤3，
∴y的最大值为8，最小值为$\frac{7}{16}$，
∵a=3时，y=$\frac{1}{2}$，
∴点P的经过的路程为8-$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{7}{16}$）=$\frac{61}{8}$，
故答案为$\frac{61}{8}$．

点评 本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．