Question

16．如图1，P是反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的一个动点，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴．
（1）若矩形OAPB的长是宽的两倍，求P点坐标；
（2）若矩形对角线AB=6，求矩形OAPB的周长；
（3）如图2，E在BP上，且BE=2PE，若E关于直线AB的对称点F恰好落在坐标轴上，连结AE，AF，EF，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数k的几何意义得到矩形OAPB的面积=6，设矩形OAPB的宽为m，则长为2m，利用矩形的面积公式可计算出m=$\sqrt{3}$，从而得到P点坐标；
（2）设矩形OAPB的两边为m、n，利用反比例函数k的几何意义得到mn=6，再根据勾股定理得到a²+b²=6²，根据完全平分公式变形得到（a+b）²-2ab=36，则可计算出a+b=4$\sqrt{3}$，
从而得到矩形OAPB的周长；
（3）当E关于直线AB的对称点F恰好落在x轴上，如图2，AB与EF相交于点Q，利用三角形面积公式得到S_△ABE=2，再根据对称轴的性质得AB垂直平分EF，EQ=FQ，接着证明FQ垂直平分AB得到BQ=AQ，所以S_△AQE=$\frac{1}{2}$S_△ABE=1，则S_△AEF=2S_△AQE=2；当E关于直线AB的对称点F恰好落在y轴上，如图3，证明四边形OAPB为正方形得到P（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$），则可计算出S_△BEF=$\frac{4}{3}$，而S_△AOE=S_△APE=1，于是得到S_△AEF=$\frac{8}{3}$．

解答 解：（1）∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，
∴矩形OAPB的面积=|k|=6，
设矩形OAPB的宽为m，则长为2m，
∴m•2m=6，解得m=$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）或（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
（2）设矩形OAPB的两边为m、n，则mn=6，
∵矩形对角线AB=6，
∴a²+b²=6²，
∴（a+b）²-2ab=36，
∴（a+b）²=36+2×6，
∴a+b=4$\sqrt{3}$，
∴矩形OAPB的周长为8$\sqrt{3}$；
（3）当E关于直线AB的对称点F恰好落在x轴上，如图2，AB与EF相交于点Q，
∵矩形OAPB的面积=6，
而BE=2PE，
∴S_△ABE=2，
∵点E与点F关于AB对称，
∴AB垂直平分EF，EQ=FQ，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PB∥OA，
∴∠AFE=∠BEF，
∴∠BEF=∠AEF，
∴FQ垂直平分AB，
∴BQ=AQ，
∴S_△AQE=$\frac{1}{2}$S_△ABE=1，
∴S_△AEF=2S_△AQE=2；
当E关于直线AB的对称点F恰好落在y轴上，如图3，
∵点E与点F关于AB对称，
∴BE=BF，AB⊥EF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴AB平分∠OBP，
∴四边形OAPB为正方形，
∴P（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$），
∴BE=BF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{6}}{3}$•$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4}{3}$，
而S_△AOE=S_△APE=1，
∴S_△AEF=6-$\frac{4}{3}$-1-1=$\frac{8}{3}$，
综上所述，△AEF的面积为2或$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．