Question

9．如图，边长为8的等边△ABC，AD⊥BC于D，点E是线段AD上的一个动点，CF=CE，∠ECF=60°，则线段DF长的取值范围是4≤DF≤4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 如图1，当点E运动到点D时，根据等边三角形的性质得到DF=CD=$\frac{1}{2}$BC=4；如图2，当点E运动到点A时，由已知条件得到△CEF是等边三角形，求得∠CEF=60°，AF=AC=8，根据等边三角形的性质得到∠DAC=30°，AD=4$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：如图1，当点E运动到点D时，
∵CF=CE，∠ECF=60°，
∴点F在线段AC上，
∴△CDF是等边三角形，
∴DF=CD=$\frac{1}{2}$BC=4；
如图2，当点E运动到点A时，
∵CF=CE，∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，AF=AC=8，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∵∠DAC=30°，AD=4$\sqrt{3}$，
∴∠DAF=90°，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∴线段DF长的取值范围是4≤DF≤4$\sqrt{7}$，
故答案为：4≤DF≤4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，熟记等边三角形的性质是解题的关键．