题目内容
12．如图1，点A的坐标为（0，3），将点A向右平移6个单位得到点B，过点B作BC⊥x轴于C．（1）求B、C两点坐标及四边形AOCB的面积；
（2）点Q自O点以1个单位/秒的速度在y轴上向上运动，点P自C点以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），是否存在一段时间，使得S△BOQ＜$\frac{1}{2}{S}_{△BOP}$，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
（3）求证：S四边形BPOQ是一个定值．
分析 （1）直接利用A点坐标，结合平移的性质得出B，C点坐标，再利用矩形面积求法得出答案；
（2）利用Q，P点移动速度分别表示出△BOQ和△BOP的面积，进而得出t的取值范围，即可得出答案；
（3）利用S四边形BPOQ=S四边形AOCB-S△AQB-S△BCP，进而得出答案．
解答 （1）解：∵点A的坐标为（0，3），将点A向右平移6个单位得到点B，过点B作BC⊥x轴于C，
∴B（6，3），C（6，0），
S四边形AOCB=3×6=18；
（2）解：存在t的值使S△BOQ＜$\frac{1}{2}$S△BOP，
理由如下：
∵S△BOQ=$\frac{1}{2}$×6t=3t，
S△BOP=$\frac{1}{2}$×3（6-2t）=9-3t，
∴3t＜$\frac{1}{2}$（9-3t）
解得：t＜1，
当0＜t＜1时，S△BOQ＜$\frac{1}{2}$S△BOP；
（3）证明：∵S四边形BPOQ=S四边形AOCB-S△AQB-S△BCP
=18-$\frac{1}{2}$（3-t）×6-$\frac{1}{2}$×3×2t
=3t+（9-3t）
=9，
∴S四边形BPOQ是一个定值．
点评 此题主要考查了四边形综合以及三角形面积求法、四边形面积求法，正确表示出各边长进而表示出图形面积是解题关键．
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