Question

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：
①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2$\sqrt{5}$；⑤∠CAF=∠CFB．
其中正确的结论有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①错误．由CD=DB，推出AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC=BC，显然与已知矛盾，故错误．
②正确．易证△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．
③正确．由△ACD≌△CBF，推出∠CAD=∠BCF，由∠BCF+∠ACF=90°，推出∠CAD+∠ACF=90°，即AD⊥CF．
④正确．在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，易证AF=AD=2$\sqrt{5}$．
⑤正确．于△ACD≌△CBF，推出AD=CF=AF，推出∠CAF=∠FCA，于AC∥BF，即可推出∠CFB=∠FCA=∠CAF．

解答 解：①错误．∵CD=DB，
∴AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC=BC，显然与已知矛盾，故错误．
②正确．易证△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．
③正确．∵AC=BC，∠ACD=∠CBF，CD=BF，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠CAD+∠ACF=90°，
∴AD⊥CF．
④正确．在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，易证AF=AD=2$\sqrt{5}$．
⑤正确．∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF=AF，
∴∠CAF=∠FCA，
∵AC∥BF，
∴∠CFB=∠FCA=∠CAF．
故选B．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．