Question

11．如图，抛物线y=x²-mx+n经过点A（-1，0），与x轴的另一个交点是B（B在A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴EF交x轴于点E，点C关于EF的对称点是点D．
（1）n=-m-1（用含m的代数式表示）．
（2）当点E是OA中点时，求该抛物线对应的函数关系式．
（3）当以点A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
（4）连结AC、CE，当△ACE的面积是$\frac{1}{2}$时，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）把点A（-1，0）代入抛物线y=x²-mx+n，即可用含m的代数式表示n；
（2）根据抛物线对称轴公式可得抛物线的对称轴是x=$\frac{m}{2}$，再根据中点坐标公式可得gym的方程，解方程即可求得m的值，从而得到该抛物线对应的函数关系式；
（3）分两种情况：①当m＞0时，②当-2＜m＜0时，根据平行四边形的性质可求m的值；
（4）分两种情况：①当m＞-1时，②当-2＜m＜-1时，根据三角形面积公式可求m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-mx+n经过点A（-1，0），
∴1+m+n=0，
∴n=-m-1；
（2）抛物线y=x²-mx-m-1的对称轴是x=$\frac{m}{2}$．                                
AE=$\frac{m}{2}$+1．
∵点E是OA中点，
∴AE=$\frac{m}{2}$+1=$\frac{1}{2}$．
∴m=-1．                                                               
∴抛物线对应的函数关系式为y=x²+x．                                   
（3）①当m＞0时，如图①，

∵抛物线y=x²-mx-m-1的对称轴是x=$\frac{m}{2}$，
∴CD=m，AE=$\frac{m}{2}$+1．
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴m=$\frac{m}{2}$+1，
∴m=2；
②当-2＜m＜0时，如图②，CD=-m，AE=$\frac{m}{2}$+1．

∵四边形ADCE是平行四边形，
∴-m=$\frac{m}{2}$+1．                                                     
∴m=-$\frac{2}{3}$；                                                            
（4）m=0．解题过程如下：
①当m＞-1时，如图③，

S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•OC
=$\frac{1}{2}$（$\frac{m}{2}$+1）（m+1）
=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得m₁=0，m₂=-3（不合题意，舍去）．
∴m=0．
②当-2＜m＜-1时，如图④，

S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•OC
=$\frac{1}{2}$（$\frac{m}{2}$+1）（-m-1）
=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{2}$．
∴-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即m²+3m+4=0，
△=b²-4ac=9-16=-7＜0，
∴此方程没有实数根．
综上所述，当m=0时，△ACE的面积是$\frac{1}{2}$．
故答案为：-m-1．

点评 考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴公式，中点坐标公式，待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质，三角形面积的知识点，同时涉及方程思想和分类讨论思想的应用．