Question

15．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象经过P点、Q点，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；

Answer 1

分析 （1）先用t表示出P、Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；
（2）先根据OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；
（3）分∠OPQ=90°与∠POQ=90°两种情况进行分类讨论．

解答 解：（1）∵A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，
∴P（t，8），Q（10，at），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象经过P点、Q点，
∴8t=10at，解得a=$\frac{4}{5}$；

（2）∵OQ垂直平分AP，
∴OP=OA，PQ=QA，
∴$\sqrt{{t}^{2}+{8}^{2}}$=10，解得t=6，
∴Q（10，6a），P（6，8），
∵PQ=QA，
∴（10-6）²+（6a-8）²=（6a）²，解得a=$\frac{5}{6}$；

（3）如图，
∵Q为AB的中点，
∴Q（10，4），P（t，8）．
当∠OPQ=90°时，OP²+PQ²=OQ²，即t²+8²+（10-t）²+4²=10²+4²，整理得，t²-10t+32=0，
∵△=（-10）²-4×32=100-128=-28＜0，
∴此方程无解，即此种情况不存在；
当∠POQ=90°时，OQP²+PQ²=OP²，即10²+4²+（10-t）²+4²=t²+8²，整理得，-20t=-168，解得t=$\frac{42}{5}$，
∵AQ=4，
∴at=4，即$\frac{42}{5}$a=4，解得a=$\frac{10}{21}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、直角三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．