Question

13．已知四边形ABCD中，BC∥AD，∠BCD=90°，DE⊥AB于E，AD=CD=4，BC=3
（1）如图1，求AE•AB的值；
（2）如图2，连接AC，交DE于点F，求证：CF=4AF；
（3）如图3，连接CE，求sin∠CEB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作BM⊥AD于M交DE于O．则四边形BCDM是矩形，BC=DM=3，由△ADE∽△ABM，可得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AM}$，推出AE•AB=AM•AD=1×4=4．
（2）如图2中，作BM⊥AD于M，AN⊥AD交DE的延长线于N．只要证明△ABM≌△DNA，推出AM=AN=1，由AN∥CD，推出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CD}{AN}$=$\frac{4}{1}$，即可解决问题．
（3）如图3中，连接BD，延长DC交AB的延长线于M．由△MCB∽△MED，推出$\frac{MC}{ME}$=$\frac{MB}{MD}$，推出$\frac{MC}{MB}$=$\frac{ME}{MD}$，又∠M=∠M，推出△MBD∽△MCE，推出∠MEC=∠MDB，推出sin∠CEB=sin∠CDB=$\frac{BC}{BD}$，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作BM⊥AD于M交DE于O．则四边形BCDM是矩形，BC=DM=3，．

∵DE⊥AB，
∴∠OMD=∠OEB，
∵∠BOE=∠DOM，
∴∠ODM=∠OBE，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABM，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AM}$，
∴AE•AB=AM•AD=1×4=4．

（2）如图2中，作BM⊥AD于M，AN⊥AD交DE的延长线于N．

∵四边形BCDM是矩形，
∴BM=CD=AD，
∵∠ABM=∠ADN，∠AMB=∠DAN=90°，
∴△ABM≌△DNA，
∴AM=AN=1，
∵AN∥CD，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CD}{AN}$=$\frac{4}{1}$，
∴CF=4AF．

（3）如图3中，连接BD，延长DC交AB的延长线于M．

∵∠M=∠M，∠MCB=∠MED，
∴△MCB∽△MED，
∴$\frac{MC}{ME}$=$\frac{MB}{MD}$，
∴$\frac{MC}{MB}$=$\frac{ME}{MD}$，∵∠M=∠M，
∴△MBD∽△MCE，
∴∠MEC=∠MDB，
∴sin∠CEB=sin∠CDB=$\frac{BC}{BD}$，
在Rt△DBC中，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴sin∠CEB=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．