阅读理解题:对于任意由0.1组成的一列数．将原有的每个1变成01.并将每个原有的0变成10称为一次变换．如101经过一次变换成为011001．请你经过思考.操作回答下列问题:(1)将11变换两次后得到10011001,(2)若100101101001是由某数列两次变换后得到．则这个数列是101,(3)一个10项的数列经过两次变换后至少有多少对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．阅读理解题：
对于任意由0，1组成的一列数．将原有的每个1变成01，并将每个原有的0变成10称为一次变换．如101经过一次变换成为011001．请你经过思考、操作回答下列问题：
（1）将11变换两次后得到10011001；
（2）若100101101001是由某数列两次变换后得到．则这个数列是101；
（3）一个10项的数列经过两次变换后至少有多少对两个连续相等的数对（即1100）？请证明你的结论；
（4）01经过10次操作后连续两项都是0的数对个数有341个．

分析（1）根据变换规则解答即可得；
（2）逆用变换规则，反向推理可得答案；
（3）由0经过两次变换后得到0110、1经过两次变换后得到1001知10项的数列至少有10对连续相等的数对，根据0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对，得出答案；
（4）记数列01为A₀，k次变换后数列为A_k，连续两项都是0的数对个数为l_k，设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，可得l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有2种产生途径：①由A_k中的1得到；②由A_k中的00得，由此得出k为偶数时，l_k关于k的函数表达式，将k=10代入即可得．

解答解：（1）将11一次変换得0101，再次变换得10011001，
故答案为：10011001；

（2）100101101001一次変换的原数是011001，再次变换的原数是101，
故答案为：101；

（3）经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对，
∵0经过两次变换后得到0110，1经过两次变换后得到1001，
∴10项的数列至少有10对连续相等的数对，
又∵0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对，
∴一个10项的数列经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对；

（4）记数列01为A₀，k次变换后数列为A_k，连续两项都是0的数对个数为l_k，
设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，
∴l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有2种产生途径：①由A_k中的1得到；②由A_k中的00得到；
根据题意知，A_k中的0和1的个数总是相等，且共有2^k+1个，
∴b_k+1=l_k+2^k，
∴l_k+2=l_k+2^k，
由A₀：0、1可得A₁：1、0、0、1，A₂：0、1、1、0、1、0、0、1，
∴l₁=1、l₂=2，
当k≥3时，
若k为偶数，l_k=l_k-2+2^k-2、l_k-2=l_k-4+2^k-4、…、l₄=l₂+2²，
上述各式相加可得l_k=1+2²+2⁴+…+2^k-2=$\frac{1•（1-{4}^{\frac{k}{2}}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（2^k-1），
经检验，k=2时也满足l_k=$\frac{1}{3}$（2^k-1），
∴当k=10时，l₁₀=$\frac{1}{3}$（2¹⁰-1）=341，
故答案为：341．