Question

5．如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，M是DG的中点．
（1）当∠BCE=90°时，求证：MC⊥BE；
（2）将正方形CEFG绕C点按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），MC⊥BE是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△DCG≌△BCE，推出∠CDG=∠CBE，由DM=MG，推出CM=MD，推出∠MCD=∠MDC，由∠MCD+∠BCH=90°，推出∠BCH+∠CBE=90°，即∠CHB=90°；
（2）结论成立．如图2中，延长CM到N，使得MN=CM，连接DN，NG．只要证明△CDN≌△BCE，推出∠DCN=∠CBH，由∠DCN+∠BCH=90°，推出∠CBH+∠CBE=90°，即∠CHB=90°；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴CD=CB，CG=CE，∠DCB=∠GCE=90°，
∵∠BCE=90°，
∴∠DCG=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
在△DCG和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠DCG=∠BCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△BCE，
∴∠CDG=∠CBE，
∵DM=MG，
∴CM=MD，
∴∠MCD=∠MDC，
∵∠MCD+∠BCH=90°，
∴∠BCH+∠CBE=90°，
∴∠CHB=90°，
∴MC⊥BE．

（2）解：结论成立．理由如下：
如图2中，延长CM到N，使得MN=CM，连接DN，NG．

∵DM=MG，CM=MN，
∴四边形CDNG是平行四边形，
∴DN=CG=CE，DN∥CG，
∴∠CDN+∠DCG=180°，
∵∠BCE+∠DCG=180°，
∴∠BCE=∠CDN，∵DC=CB，
∴△CDN≌△BCE，
∴∠DCN=∠CBH，
∵∠DCN+∠BCH=90°，
∴∠CBH+∠CBE=90°，
∴∠CHB=90°，
∴MC⊥BE．

点评 本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．