Question

9．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，2），将直角三角尺绕直角顶点C进行旋转，两条直角边分别与x轴正半轴，y轴交于点A，点B．
（1）如图，当B与O重合时，试说明：AC=BC；
（2）在旋转过程中，AC=BC这个结论还成立吗？请说明理由；
（3）在旋转的过程中，设A（a，0），B（0，b），请用含a的代数式表示b．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥x轴于点D，知AD=BD=2，由点C坐标可得∠CBD=∠BCD=45°，继而可得∠CBD=∠CAB=45°，即可得答案；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，根据点C坐标可得四边形ODCE为正方形，从而知CE=CD、∠BCE=∠ACD，再证△BCE≌△ACD即可；
（3）由（2）可知AD=BE，即a-2=2-b，即可得．

解答 解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，

由题意可知AD=BD=2，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∵∠BCA=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠CBD=∠CAB=45°，
∴CB=CA；

（2）如图2，当点B在y轴正半轴上时，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，

∴∠BOD=∠CDO=∠CEO=90°，
又∵CD=OD=2，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CE=CD，
∵∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\\{∠BEC=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（ASA），
∴AC=BC；
如图3，当点B在y轴负半轴时，与以上同理可得AC=BC；



（3）由（2）知，AD=BE，即a-2=2-b，
∴b=4-a．

点评 本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．