Question

14．如图，等边△ABC的边长为3，F为BC边上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长为（　　）

• A． 随F点运动，其值不变
• B． 随F点运动而变化，最大值为$\frac{9}{4}$
• C． 随F点运动而变化，最小值为$\frac{9}{4}$
• D． 随F点运动而变化，最小值为$\frac{3}{2}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，根据S_△ABF+S_△ACF=S_△ABC即可得出DF+EF=AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，再根据三角形三边关系即可求解．

解答 解：作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵S_△ABF+S_△ACF=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•DF+$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$BC•AG，
∵AB=AC=BC=3，
∴DF+EF=AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵△DEF中，DE＜DF+EF，
∴DE的长随F点运动而变化，当F运动到BC中点时DE最小值为$\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S_△ABF+S_△ACF=S_△ABC即可得出DF+EF=AG是解题的关键．