Question

1．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在射线CA上运动（不与A、C重合），以C为顶点，AC为一边作∠ACP，使∠ACP=∠CBD，PC与射线DB交于点P，
（1）如果点D在线段AC上运动，如图①：
①将∠BAC=40°，则∠BPC=110°
②若∠BAC=n°，∠BPC=90°+$\frac{n°}{2}$（用含n的代数式丧示）
（2）如果点D在CA的延长线上运动，∠BAC=n°，其余条件不变化，请在图②中将图形补充完整．并利用图②探究∠BPC的大小（直接写出含n的表达式）∠BPC=90°-$\frac{n°}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①根据三角形的内角和求出∠ACB，再用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；
②同①的方法即可；
（2）同①的方法即可．

解答 解：（1）如图①，
①∵△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵∠ACP=∠CBD，
∴∠BCP=∠ABD
∠BDC=∠BAC+∠ABD，
∴∠BPC=∠BDC+∠PCD=∠BAC+∠ABD+∠PCD=∠BAC+∠BCP+∠PCD=∠BAC+∠ACB=40°+70°=110°，
故答案为：110°，
②∵△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=n°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-n}{2}$，
∵∠ACP=∠CBD，
∴∠BCP=∠ABD
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD，
∴∠BPC=∠BDC+∠PCD=∠BAC+∠ABD+∠PCD=∠BAC+∠BCP+∠PCD=∠BAC+∠ACB=n°+$\frac{180°-n}{2}$=90°+$\frac{n°}{2}$，
故答案为：90°+$\frac{n°}{2}$，
（2）如图2，

②∵△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=n°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-n}{2}$，
∵∠ACP=∠CBD，
∴∠ABD=∠BCP
∴∠BAC=∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC-∠ABD
∴∠BPC=180°-（∠BDC+∠PCD）=180°-（∠BAC-∠ABD+∠ACB+∠BCP）=180°-（∠BAC+∠ACB）=180°-（n°+$\frac{180°-n}{2}$）=90°-$\frac{n°}{2}$，
故答案为：90°-$\frac{n°}{2}$．

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的内角和为180°，三角形的外角的性质，等式的性质，解本题的关键是用三角形的外角解决本题．