Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知∠B=60°，BD=

3

，AE=3．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠B及BD的值，求出OD的值即可；
（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；
（3）阴影部分的面积=三角形BOD的面积-扇形DOF的面积，求出即可．

解答：解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，∠B=60°，BD=

3

，
∴tanB=

OD

BD

，
∴OD=BD•tan60°=3；

（2）连接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AE为圆O的切线；

（3）在Rt△BDO中，BD=

3

，OD=3，
∴S_△OBD=

1

2

BD•OD=

1

2

×

3

×3=

3 3

2

，
∵∠B=60°，
∴∠FOD=30°，
∴S_扇形=

30π×32

360

=

3

4

π，
∴S_阴影=S_△OBD-S_扇形FOD=

3 3

2

-

3

4

π=

6 3 -3π

4

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．