Question

1．如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=4+4$\sqrt{3}$，M是边BC上一动点，P、Q分别是△ABM、△ACM外接圆的圆心，则S_△PMQ的最小值为6$\sqrt{3}$+12．

Answer 1

分析 根据三角形的外心的概念确定PQ是线段AM的垂直平分线，根据题意得到当AM⊥BC时，S_△PMQ最小，计算即可．

解答 解：∵P、Q分别是△ABM、△ACM外接圆的圆心，
∴PQ是线段AM的垂直平分线，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×PQ×MH，
∴当AM⊥BC时，S_△PMQ最小，
∵∠B=60°，∠C=45°，
∴AM=$\sqrt{3}$BM，AM=MC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$AM+AM=4+4$\sqrt{3}$，
解得，AM=4$\sqrt{3}$，
∵P、Q分别是△ABM、△ACM外接圆的圆心，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BC=2+2$\sqrt{3}$，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×PQ×MH=6$\sqrt{3}$+12，
故答案为：6$\sqrt{3}$+12．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握线段垂直平分线的判定定理、三角形中位线的性质是解题的关键．