Question

13．如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．

Answer 1

分析 首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，然后同理可得：∠OKH=90°，∠KHG=90°，∠HGO=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠GAB+∠GBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∴∠GOK=90°，
同理：∠OKH=90°，∠KHG=90°，
∴∠HGO=90°，
∴四边形KHGO是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角的四边形是矩形．