Question

11．如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BF⊥EF，AD=1．
（1）求证：BF=EF；
（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，请问GF的长度是一个定值吗？如果是请求出这个长度的值，若不是请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作FM⊥AD于M，FN⊥AB于N．只要证明△FME≌△FNB即可．
（2）如图2中，GF的长度是一个定值．连接BD交AC于O．首先求出OB的长，再证明△EGF≌△FOB，即可推出FG=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）证明：如图1中，作FM⊥AD于M，FN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=∠CAB=45°，
∴FN=FM，
∵∠FMA=∠MAN=∠FNA=90°，
∴∠MFN=∠EFB=90°，
∴∠MFE=∠NFB，
在△FME和△FNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠FNB}\\{FM=FN}\\{∠MEE=∠NFB}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△FNB，
∴EF=FB．

（2）如图2中，GF的长度是一个定值．

理由：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC⊥BD，
∴∠EFB=∠BOF=∠EGF=90°，
∵∠EFG+∠FEG=90°，∠EFG+∠BFO=90°，
∴∠FEO=∠BFO，
在△EGF和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠FOB}\\{∠FEG=∠BFO}\\{EF=FB}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△FOB，
∴FG=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴FG的长度是定值．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．