Question

如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）求AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）连接OB，由已知得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．
（2）连接BD，先证得四边形BCDO是正方形，得出∠ODB=45°，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，从而证得△BDE是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得BD=

2

，然后根据垂直平分线的性质证得BD=AB，从而求得AB的长．

解答：解：（1）是，理由如下：
如图，连接OB．
∵四边形BCDO为平行四边形，
∴ED∥BC，OE=BC，
∵OE=OD，
∴OD=BC，
∴四边形ODCB是平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
（2）连接BD，
∵四边形BCDO为矩形，OB=OD=BC，
∴四边形BCDO是正方形，
∴∠ODB=45°，
∵DE是直径，
∴∠DBE=90°，
∵⊙O的半径为1，
∴ED=2，
∴BD=

2

，
∵BC⊥AD，C为AD的中点，
∴AB=BD=

2

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的判定和性质以及勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．