Question

如图，锐角△ABC中，点H是三条高的交点，点D、E、F、G分别是AB、BH、CH、AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若∠BAC=45°，求证：四边形DEFG是正方形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：（1）利用中位线的性质与判定结合平行四边形的判定得出四边形DEFG是平行四边形，进而得出∠EDG=90°，求出即可；
（2）利用全等三角形的判定得出△DME≌△FHE（ASA），进而得出DE=EF，即可得出四边形DEFG是正方形．

解答：证明：（1）∵锐角△ABC中，点D、E、F、G分别是AB、BH、CH、AC的中点，
∴DG∥BC，DE∥AH，FG∥AH，EF∥BC，
∴DG∥EF，DE∥FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵点H是三条高的交点，DG∥BC，
∴AH⊥DG，
∴∠EDG=90°，
∴平行四边形DEFG是矩形；

（2）延长CH交AB于M，延长BH交AC于N，
∵点H是三条高的交点，
∴∠AMH=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠MHN=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠1=135°，
∴∠MHB=45°，
∴∠MBH=45°，
∴BM=MH，
∵BE=EH，
∴ME⊥BH，
∴ME=EH，则∠EMH=45°，
∴∠EMD=135°，
则∠EMD=∠EHF，
∵∠FEH+∠DEH=90°，∠DEH+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠FEH，
在△DME和△FHE中
∵

∠DME=∠EHF ME=HE ∠MED=∠FEH

，
∴△DME≌△FHE（ASA），
∴DE=EF，
∴矩形DEFG是正方形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和矩形以及正方形的判定等知识，得出△DME≌△FHE（ASA）是解题关键．