Question

如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F．求证：EF⊥AP．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：证明题

分析：延长FP交AB交于G，延长AP交EF于点H，易证△PAG≌△EFP，可求得∠FPH+∠PFH=90°，可证得结论..

解答：证明：如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
同理四边形BCFG也为矩形，
∴PE=FC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
∴PG=BG=PE，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=EC=PF，
在△PAG和△EFP中，

AG=PF ∠AGP=∠FPE PG=PE

，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴∠APG=∠FEP=∠FPH，
∵∠FEP+∠PFH=90°，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∴AP⊥EF．

点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造三角形全等找到角之间的关系是解题的关键．