Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x²+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与双曲线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．

解答：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x²-1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x²-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
当x=-1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x²-1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=y_F-y_P=（x+1）-（x²-1）=-x²+x+2．
S_△ABP=S_△PFA+S_△PFB=

1

2

PF（x_F-x_A）+

1

2

PF（x_B-x_F）=

1

2

PF（x_B-x_A）=

3

2

PF
∴S△ABP=

3

2

（-x²+x+2）=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

当x=

1

2

时，y_P=x²-1=-

3

4

．
∴△ABP面积最大值为

27

8

，此时点P坐标为（

1

2

，-

3

4

）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（-

1

k

，0），F（0，1），OE=

1

k

，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=

( 1 k )2+1

=

1+k2

k

．
令y=x²+（k-1）x-k=0，即（x+k）（x-1）=0，解得：x=-k或x=1．
∴C（-k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=

k

2

．
∴EN=OE-ON=

1

k

-

k

2

．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴

NQ

OF

=

EN

EF

，即：

k 2

1

=

1 k - k 2

1+k2 k

，
解得：k=±

2 5

5

，
∵k＞0，
∴k=

2 5

5

．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=

2 5

5

．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，
将C（-k，0）代入y=kx+1中，
可得k=1，k=-1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．
综上所述，k=

2 5

5

或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义．