Question

如图，P是正三角形ABC内一点，PA=5，PB=12，PC=13，若三角形PAC绕点A逆时针旋转后，得到三角形P′AB，则∠APB=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：连结PP′，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得∠PAP′=∠CAB=60°，AP=AP′=5，PC=P′B=13，则可判断△APP′为等边三角形，得到∠APP′=60°，PP′=AP=5，在△BPP′中运用勾股定理的逆定理可证明△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，然后根据∠APB=∠APP′+∠BPP′进行计算即可．

解答：解：连结PP′，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠CAB=60°，AP=AP′=5，PC=P′B=13，
∴△APP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=AP=5，
在△BPP′中，∵PP′=5，P′B=13，BP=12，
∴BP²+PP′²=BP′²，
∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．
故答案为150°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．灵活应用等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．