Question

7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D在BC上，AD=DC．
（1）求∠BAD的大小．
（2）若BD=1，求点D到AC的距离．
（3）在（2）的条件下，求△ADC的AD边上的高线长．

Answer 1

分析 （1）先证明∠DAC=∠DCA=30°，求出∠ADB即可解决问题．
（2）过D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质定理即可解决问题．
（3）过C作AD的延长线的垂线，垂足为F．先证明△ADB≌△CDF，得DF=DB=1，∠DCF=∠BAD=30°，由此即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ABC 中，∵AD=DC．
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠DCA=60°，
∵∠B=90°，
∴∠BAD=90°-∠ADB=30°．

（2）过D作DE⊥AC于E，
∵∠DAB=∠DAE，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DB=DE=1，
∴D到AC的距离是1．

（3）过C作AD的延长线的垂线，垂足为F．
在△ADB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F=90°}\\{∠ADB=∠CDF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDF，
∴DF=DB=1，∠DCF=∠BAD=30°，
∴CD=2DF=2
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形以及全等三角形解决问题，属于中考常考题型．