如果两个二次函数图象的开口向上.顶点坐标都相同.那么称这两个二次函数互为“同簇二次函数 .显然“同簇二次函数不是唯一的．(1)已知二次函数y=3x2-6x+1．①写出它的开口方向.顶点坐标,②请写出它的两个不同的“同簇二次函数．(2)已知两个二次函数y1=a1(x-k1)2+h1.y2=a2(x-k2)2+h2是“同� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如果两个二次函数图象的开口向上，顶点坐标都相同，那么称这两个二次函数互为“同簇二次函数”，显然“同簇二次函数”不是唯一的．
（1）已知二次函数y=3x²-6x+1．
①写出它的开口方向，顶点坐标；
②请写出它的两个不同的“同簇二次函数”．
（2）已知两个二次函数y₁=a₁（x-k₁）²+h₁，y₂=a₂（x-k₂）²+h^₂是“同簇二次函数”，则a₁a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂（均填“＞”、“=“、或“＜”号）
①如果y₃=y₁+y₂也是y₁的“同簇二次函数”，求证：y₃的顶点在x轴上；
②如果直线y=t，与y₁、y₂顺次交于点A、B、C、D，且AB=BC=CD，求$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$的值．

分析（1）①由a＞0，可判断出抛物线的开口方向，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
②由“同簇二次函数”的定义写出两个顶点坐标为（1，-2），a≠3的二次函数即可；
（2）由同簇二次函数可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂；
①列出关于y₃的函数关系式，然后依据“同簇二次函数”的定义可求得h₁=0，从而可求得y₃的顶点在x轴上；
②分别求得y₁=a₁（x-k₁）²+h₁与y=t、y₂=a₂（x-k₁）²+h₁与y=t的交点横坐标，最后依据AD=3BC可求得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$的值．

解答解：（1）①∵a=3＞0，
∴抛物线的开口向上．
∵y=3x²-6x+1=3（x-1）²-2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）．
②由“同簇二次函数”的定义可知y₁=2（x-1）²-2，y₂=（x-1）²-2均是y=3x²-6x+1的同簇二次函数．
（2）∵由同簇二次函数可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂，
∴a₁a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂．
故答案为：＞，=，=．
①∵y₃=y₁+y₂，
∴y₃=a₁（x-k₁）²+h₁+a₂（x-k₂）²+h₂．
∵k₁=k₂，h₁=h₂，
∴y₃=（a₁+a₂）（x-k₁）²+2h₁．
∵y₃与y₁互为同簇二次函数．
∴2h₁=h₁．
解得h₁=0．
∴y₃=（a₁+a₂）（x-k₁）²．
∴y₃的顶点在x轴上．
②将y₁=a₁（x-k₁）²+h₁与y=t联立解得：x=k₁±$\sqrt{\frac{t{-h}_{1}}{{a}_{1}}}$．
将y₂=a₂（x-k₁）²+h₁与y=t联立解得：x=k₁±$\sqrt{\frac{t-{h}_{1}}{{a}_{2}}}$．
∵AB=BC=CD，
∴AD=3BC．
∴2$\sqrt{\frac{t{-h}_{1}}{{a}_{1}}}$=6$\sqrt{\frac{t-{h}_{1}}{{a}_{2}}}$．
解得：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=9．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的顶点坐标、函数图象的交点与方程组的关系、理解同簇二次函数的概念是解题的关键．

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	A．	相等的角是对顶角
	B．	同旁内角相等，两直线平行
	C．	直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
	D．	经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

	A	B	C
北纬（度）	31°00′	33°11′	25°38′
东经（度）	128°20′	125°00′	125°00′

	A．	尺规作线段的垂直平分线		B．	尺规作一条线段等于已知线段
	C．	尺规作一个角等于已知角		D．	尺规作角的平分线