Question

2．在Rt△ABC中，点D为斜边AB的中点，P为AC边一动点，△BDP沿着PD所在的直线对折，点B的对应点为E．
（1）若BC=5，AC=12，PD⊥AB，求AP的长；
（2）当AD=PE时，求证：四边形BDEP为菱形；
（3）若BC=5，∠A=30°，P点从C点运动到A点，在这个过程中，求E点所经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理证明△ADP∽△ACB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（2）根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（3）根据等边三角形的性质和平角的定义求出P点从C点运动到A点E点运动的圆心角，根据弧长公式计算即可．

解答 （1）解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=13，
∵PD⊥AB，∠C=90°，
∴△ADP∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{6.5}{12}$=$\frac{AP}{13}$，
解得，AP=$\frac{169}{24}$；
（2）证明：由翻折变换的性质可知，PB=PE，DB=DE，
∵AD=PE，BD=AD，
∴BP=PE=ED=DB，
∴四边形BDEP为菱形；
（3）∵BC=5，∠A=30°，
∴AB=2BC=10，
∴DE=BD=$\frac{1}{2}$AB=5，
当P点与C点重合时，△BPD是等边三角形，
∴∠BDP=60°，
∴∠EDP=60°，
∴∠EDA=60°，
当P点与A点重合时，∠EDA=180°，
∴P点从C点运动到A点E点运动的圆心角为60°+180°=240°，
$\frac{240×π×5}{180}$=$\frac{20π}{3}$，
∴E点所经过的路径长为$\frac{20π}{3}$．

点评 本题考查的是菱形的判定、弧长的计算、翻折变换的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、弧长的计算公式是解题的关键．