Question

5．（1）如图1，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁． 当∠A为80°时，求∠A₁的度数
（2）在上一题中，若∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄、…、A_n，则∠A₆=（$\frac{5}{4}$）°．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=25°．
（4）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A₁的值为定值；②∠Q-∠A₁的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论①（填编号），并写出其值180°．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠BAC=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律；
（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论；
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A₁=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A₁和∠Q的关系．

解答 解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=80°，
∴∠A₁=40°，

（2）解：∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A₁=80°，
∴∠A₁=40°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠BAC=2²∠A₂=80°，
∴∠A₂=20°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，即∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
∴∠A₆=$\frac{1}{{2}^{6}}$×80°=（$\frac{5}{4}$）°，
故答案为：（$\frac{5}{4}$）°．

（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=∠A+∠D-180°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
故答案为：25°．

（4）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A₁=2（180°-∠Q），
化简得：∠A₁+∠Q=180°，
因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．
故答案为：①，180°．

点评 本题考查了多边形内角与外角和角平分线的定义，三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．