Question

14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，5），B（3，0），过点B作直线l∥y轴，点P（3，b）是直线l上的一个动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°，当点P在直线l上运动时，点Q也随时之运动，问：当b=$\frac{23}{7}$时，AQ+BQ的值最小为$\sqrt{130}$．

Answer 1

分析 如图作PM⊥OA于M，QN⊥MP于N，首先证明点Q在直线y=-x+11上运动，然后利用对称找到点AQ+BQ最小时的位置，即可解决问题．

解答 解：如图作PM⊥OA于M，QN⊥MP于N，
∵PA=PQ，∠APQ=90°，
∵∠APM+∠QPN=90°，∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠APM=∠PQN，
在△PAM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠PNQ}\\{∠APM=∠PQN}\\{AP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PAM≌△QPN，
∴QN=PM=3，AM=PN=5-b，
∴点Q坐标为（8-b，3+b），
∵8-b+3+b=11，
∴点Q在直线x+y=11，即y=-x+11上，
∵点A关于直线y=-x+11是对称点A′（6，11），连接BA′与直线y=-x+11的交点为Q，此时QA+QB最小，
这个最小值=A′B=$\sqrt{（6-3）^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{130}$．
∵直线BA′为y=$\frac{11}{3}$x-11，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+11}\\{y=\frac{11}{3}x-11}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{33}{7}}\\{y=\frac{44}{7}}\end{array}\right.$，
∴8-b=$\frac{33}{7}$，
∴b=$\frac{23}{7}$．
故答案分别为$\frac{23}{7}$，$\sqrt{130}$．

点评 本题考查轴对称、线段最短问题，题目比较难，本题的突破点是证明点Q在直线y=-x+11上，学会转化的思想，把不会的题目转化为我们熟悉的题目，属于中考填空题中的压轴题．