Question

16．在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的长．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB，等量代换得到∠1=∠CBF，求出∠CBF+∠2=90°，然后，根据切线的判定即可得到结论；
（3）根据已知条件得到sin∠1=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出BE=AB•sin∠1=$\sqrt{5}$，根据勾股定理得到BC=2BE=2$\sqrt{5}$，由勾股定理得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，于是得到sin∠2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠2=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据三角函数的定义得到AG=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，所示⊙O为所求作的圆；

（2）连结AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵∠BAF=2∠CBF，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$CAB，
∴∠1=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90°，
∵即∠ABF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，
∵sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=$\sqrt{5}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠2=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4，GB=BCcos∠2=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴$\frac{GC}{BF}=\frac{AG}{AB}$，
∴BF=$\frac{GC•AB}{AG}$=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，基本图形的作法，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．