Question

5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c的图象抛物线经过A、C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，分别交x轴、y轴于点F，G，连接D′G、E′F，从而得（DG+GF+EF+ED）的最小值=D′E′+DE，求出D′E′与DE的长即可得到答案．
（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵A（0，4）、C（5，0），二次函数y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c的图象抛物线经过A、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{\frac{1}{5}×{5}^{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{b=-\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的表达式为：y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{9}{5}$x+4；

（2）∵四边形OABC为矩形，
∴∠BAO=∠AOC=90°，AB=OC=5，BC=OA=4，
∴B（5，4），
∵E为BC中点，
∴E（5，2），
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC=45°，
∴∠ADO=∠AOD=45°，
∴AD=OA=4，
∴D（4，4），
如图1，作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，分别交x轴、y轴于点F，G，连接D′G、E′F，
则D′（-4，4），E′（5，-2），且D′G=DG，E′F=EF，
四边形DEFG的周长=DE+EF+FG+GD=DE+E′F+FG+GD′≥DE+E′D′，
根据勾股定理，DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，D′E′=$\sqrt{{9}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴四边形DEFG周长的最小值是：$\sqrt{5}$+3$\sqrt{13}$；

（3）如图2：OD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵S_△ODP=8，
∴点P到OD的距离=$\frac{2{S}_{△OPD}}{OD}$=2$\sqrt{2}$．
过点O作OF⊥OD，取OF=2$\sqrt{2}$，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P₁，P₂，
∵∠OGF=∠AOD=45°，
∴FG=OF=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△OGF中，OG=$\sqrt{O{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4，
∴直线GF的解析式为y=x-4，
将y=x-4代入y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{9}{5}$x+4，得：x₁=4，x₂=10，
∴P₁（4，0），P₂（10，6）；
如图3所示：
过点O作OF⊥OD，取OF=2$\sqrt{2}$，过点F作直线FG交抛物线与P₃，P₄，
在Rt△PFO中，OG=$\sqrt{O{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4，
∴直线GF的解析式为y=x+4，
将y=x+4代入y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{9}{5}$x+4，得：x₁=0，x₂=14，
∴P₃（0，4），P₄（14，18）；
综上所述：P₁（4，0），P₂（10，6），P₃（0，4），P₄（14，18）．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式的知识、矩形的性质、最短路径问题以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键，利用分类讨论思想求解是关键．