一副直角三角板.其中∠ACB=90°.CA=CB.∠FDE=90°.O是AB的中点.将它们平放在桌面上.使点D与点O重合.DF与AB在一条直线上．(1)将三角板DEF绕O点旋转至DF⊥AC于点M.DE⊥BC于点N.如图所示.求证:OM=ON,(2)将图1中的Rt△DEF绕O点旋转如图所示的位置.DF与AC交于点M.DE与BC相交于点N.试判断线段OM于ON的数量关系.并说明理由,(3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF），其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，将它们平放在桌面上，使点D与点O重合，DF与AB在一条直线上．

（1）将三角板DEF绕O点旋转至DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，如图所示，求证：OM=ON；
（2）将图1中的Rt△DEF绕O点旋转如图所示的位置，DF与AC交于点M，DE与BC相交于点N，试判断线段OM于ON的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线OA平移至如图3所示的位置，点D在线段AO上且不与A点重合，FD与CA垂直相交于点M，BC与DE垂直相交于点N，连接OM，ON，MN，试判断△MNO的形状，并说明理由．

分析（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONC（ASA），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出CM=DN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC+∠CON=∠NOB+∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．

解答解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，DF⊥AC，
∴∠DNC=90°，
∴DE⊥BC，
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分线．
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON．
（2）OM=ON，
理由：如图2，连接CO，则CO是AB边上中线，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分线，∠BAC=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA，OC⊥AB，
∴∠OCB=45°，
∴∠OAM=∠OCN=45°，
∵∠AOM+∠MOC=90°=∠CON+∠MOC，
∴∠AOM=∠CON，
在△OMA与△ONC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OCN}\\{OA=OC}\\{∠AOM=∠CON}\end{array}\right.$
∴△OMA≌△ONC（ASA）．
∴OM=ON．
（3）△OMN是等腰直角三角形，
理由：如图3，
∵∠ACB=90°，FD与CA垂直相交于点M，BC与DE垂直相交于点N，
∴四边形MDNC是矩形，
∴MC=DN，
∵DE⊥BC，∠B=45°，
∴∠NDB=45°，
∴∠NDB=∠B，
∴BN=DN，
∴MC=BN，
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分线，∠BAC=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OB，OC⊥AB，
∴∠OCA=45°，
∴∠OCA=∠B=45°，
在△OMC与△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BN}\\{∠OCM=∠B}\\{OC=OB}\end{array}\right.$
∴△OMC≌△ONB（SAS）．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∵∠CON+∠BON=90°，
∴∠COM+∠CON=90°，
即∠MON=90°，
∴OM⊥ON，
∴△OMN是等腰直角三角形．