Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0），B（-3，0），C（0，4），过C作CD∥x轴交抛物线于D，连结BC、AD两个动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点P沿着线段AB向B点运动，点Q沿着折线B→C→D的路线向D点运动，设这个两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t＜7），△PQB的面积记为S．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）是否存在这样的t值，使得△PQB是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用交点式将A，B代入求出答案；
（2）分别利用当0＜t≤5时，S=$\frac{1}{2}$PB•QF，当5≤t＜7时，Q点的纵坐标为4，PB=8-t，S=$\frac{1}{2}$（8-t）×4进而得出答案；
（3）利用一次函数增减性以及二次函数最值求法分别得出最值即可；
（4）利用直角三角形的性质∠PQB=90°，进而得出△BOC∽△BQP，求出答案即可．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0），B（-3，0），
∴设y=a（x+3）（x-5），
∴4=a（0+3）（0-5），
解得：a=-$\frac{4}{15}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{15}$（x+3）（x-5）=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x+4；

（2）①∵C（0，4），抛物线对称轴为：x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴D（2，4），
（i）当0＜t≤5时，QB=t，PB=8-t，
如图所示：过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$PB•QF=$\frac{1}{2}$（8-t）•$\frac{4}{5}$t=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{16}{5}$t；
（ii）当5≤t＜7时，Q点的纵坐标为4，PB=8-t，
S=$\frac{1}{2}$（8-t）×4=-2t+16；

（3）（i）当0＜t≤5时，S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{16}{5}$t=-$\frac{2}{5}$（t-4）²+$\frac{32}{5}$，
∵-$\frac{2}{5}$＜0，
∴当t=4时，S有最大值，为$\frac{32}{5}$，
（ii）当5≤t＜7时，S=-2t+16，
∵-2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=5时，S最大=6，
综合（i）（ii），当t=4时，S有最大值，最大值为$\frac{32}{5}$；

（4）存在，
t=3或t=5时，△PQB是直角三角形；
当点Q在线段BC上（不与C重合）时，要使得△PQB是直角三角形，必须使得∠PQB=90°，
这时，∠CBO=∠PBQ，∠BQP=∠OC，
∴△BOC∽△BQP，
∴$\frac{QB}{BP}$=$\frac{OB}{BC}$，即$\frac{t}{8-t}$=$\frac{3}{5}$，
解得：t=3，
当点Q与C重合时，符合要求，
∵BO=3，CO=4，
∴BC=5，
∴Q点从A到需要5秒，即此时t=5秒．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质以及函数最值求法等知识，正确利用分段函数得出其最值是解题关键．