Question

11．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y=$\frac{4}{5}$t²；③cos∠ABE=$\frac{3}{5}$；④当t=$\frac{29}{2}$秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm²时，时间t的值是$\sqrt{10}$或$\frac{51}{5}$； 其中正确的结论是②④．

Answer 1

分析 根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点P在BE上运动，点Q到达点C时；②当点P到达点E时，点Q静止于点C，从而得到BC、BE的长度；③点P到达点D时，点Q静止于点C；④当点P在线段CD上，点Q仍然静止于点C时．

解答 解：根据图（2）可得，

当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
∴①错误；
又∵从M到N的变化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠EBQ=∠AEB，
∴cos∠EBQ=cos∠AEB=$\frac{AE}{BE}=\frac{3}{5}$，
故③错误；
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，

∵AD∥BC，
∴∠EBQ=∠AEB，
∴sin∠EBQ=sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴PF=PBsin∠EBQ=$\frac{4}{5}$t，
∴当0＜t≤5时，y=$\frac{1}{2}$BQ×PF=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²，
故②正确，
如图4，

当t=$\frac{29}{2}$时，点P在CD上，
∴PD=$\frac{29}{2}$-BE-ED=$\frac{29}{2}$-10-4=$\frac{1}{2}$，
PQ=CD-PD=8-$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{4}{3}$，$\frac{BQ}{PQ}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BQ}{PO}$
∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，
故④正确．
由②知，y=$\frac{4}{5}$t²
当y=4时，$\frac{4}{5}$t²=4，
从而$t=\sqrt{5}$，
故⑤错误
综上所述，正确的结论是②④．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了锐角三角函数，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是线段的计算，也是本题的难点．