Question

16．如图，将三角形ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点P均落在格点上．
（1）计算三角形ABC的周长等于3$\sqrt{5}$+5．
（2）请在给定的网格内作三角形ABC的内接矩形EFGH，使得点E，H分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上，且使矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理分别求出AB、AC即可解决问题．
（2）在线段AB上截取BE=$\frac{1}{3}$AB，作EF⊥BC于F，EH∥BC交AC于H，作HG⊥BC于G，矩形EFGH计算所求作的矩形．作AM⊥BC于M，交EH于N，设EF=x，则MN=EF=x，
由△AEH∽△ABC，得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=5，
∴AB+AC+BC=3$\sqrt{5}$+5，
∴△ABC的周长为3$\sqrt{5}$+5．
故答案为3$\sqrt{5}$+5．
（2）在线段AB上截取BE=$\frac{1}{3}$AB，作EF⊥BC于F，EH∥BC交AC于H，作HG⊥BC于G，矩形EFGH计算所求作的矩形．
理由：作AM⊥BC于M，交EH于N，设EF=x，则MN=EF=x，
∵矩形EFGH的周长为8，
∴EH=4-x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，
∴$\frac{2-x}{2}=\frac{4-x}{5}$，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$，
∵EF∥AM，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{EF}{AM}$=$\frac{\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴BE=$\frac{1}{3}$AB，
∴当BE=$\frac{1}{3}$AB时，矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍．

点评 本题考查矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是先利用相似三角形的性质求出矩形的长、宽，然后确定点E位置，属于中考常考题型．