Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动．运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标．
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．
（3）是否存在这样的t，使得以D，E，F，O′所围成的四边形中有一组对边平行？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题可得OE=3t，OD=t，BF=2t，易证四边形OABC是矩形，从而可得AB=OC=10，BC=OA=12，从而可求出OE、AF，即可得到点E、F的坐标；
（2）只需分两种情况（①△ODE∽△AEF，②△ODE∽△AFE）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，易得△MDO′∽△NO′E，设MO′=a，根据相似三角形的性质可得到a与t的关系，从而将点O′的坐标用t的代数式表示，然后分两种情况（①DO′∥EF，如图2，②OF∥DE，如图3）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：（1）由题可得OE=3t，OD=t，BF=2t．
∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，BC=OA．
∵B（12，10），
∴BC=OA=12，AB=OC=10，
∴AF=10-2t，AE=12-3t，
∴点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（12，10-2t）；

（2）①当△ODE∽△AEF时，
则有$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OE}{AF}$，
∴$\frac{t}{12-3t}$=$\frac{3t}{10-2t}$，
解得t₁=0（舍），t₂=$\frac{26}{7}$；
②当△ODE∽△AFE时，
则有$\frac{OD}{AF}$=$\frac{OE}{AE}$，
∴$\frac{t}{10-2t}$=$\frac{3t}{12-3t}$，
解得t₁=0（舍），t₂=6．
∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，
∴3t≤12，
∴t≤4．
∵6＞4，∴t=6舍去，
综上所述：t的值为$\frac{26}{7}$；

（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，

则有∠DMN=90°，∠N=90°．
由折叠可得DO′=DO=t，O′E=OE=3t，∠DO′E=∠DOE=90°，
∴∠DMO′=∠N=90°，∠MDO′=90°-∠MO′D=∠NO′E，
∴△MDO′∽△NO′E，
∴$\frac{MO′}{NE}$=$\frac{MD}{NO′}$=$\frac{O′D}{EO′}$=$\frac{t}{3t}$=$\frac{1}{3}$，
∴NE=3MO′，NO′=3MD．
设MO′=a，
则有OM=NE=3a，NO′=3t-a，MD=3a-t，
∴3t-a=3（3a-t），
解得：a=$\frac{3}{5}$t，
∴MO′=$\frac{3}{5}$t，OM=$\frac{9}{5}$t，
∴点O′的坐标为（$\frac{3}{5}$t，$\frac{9}{5}$t）．
①若DO′∥EF，如图2，

延长O′D交x轴于S，
则有O′M∥OS，∠DSE=∠FEA，
∴∠MO′D=∠DSE=∠FEA．
∵∠O′MD=∠EAF=90°，
∴△O′MD∽△EAF，
∴$\frac{MO′}{AE}$=$\frac{MD}{AF}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}t}{12-3t}$=$\frac{\frac{9}{5}t-t}{10-2t}$，
解得：t₁=0（舍去），t₂=3；
②若OF∥DE，如图3，

过点O′作x轴的平行线与AB交于点Q，延长DE交BA的延长线于点T，
同①可得△DOE∽△FQO′，
∴$\frac{OD}{QF}$=$\frac{OE}{QO′}$，
∴$\frac{t}{\frac{9}{5}t-（10-2t）}$=$\frac{3t}{12-\frac{3}{5}t}$，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{7}{2}$．
综上所述：t的值为3或$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查了线相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．