Question

2．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在圆周上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则△PAB周长的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 作AE⊥MN交⊙O于E，连接BE交MN于点P作AF⊥OB于F，连接AP，此时△PAB周长最小，因为△APB周长=AP+PB+AB=PE+PB+AB=BE+AB，只要求出AB，BE即可．

解答 解：作AE⊥MN交⊙O于E，连接BE交MN于点P作AF⊥OB于F，连接AP，此时△PAB周长最小．
∵MN是直径，AE⊥MN，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{EN}$，
∵∠M=30°，
∴∠AON=∠NOE=60°，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BN}$，
∴∠AOB=∠BON=30°，
在RT△AOF中，∠AFO=90°，AO=1，
∴AF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，FB=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
∵∠BOE=∠BON+∠NOE=90°，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴△APB周长=AP+PB+AB=PE+PB+AB=BE+AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查轴对称-最短问题、圆的有关知识、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用对称变换找到点P，属于中考常考题型．