Question

6．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，点P从B出发，以1厘米/秒的速度沿射线BO运动，设点P运动时间为t（t＞0）秒．△APC是以AP为斜边的等腰直角三角形，且C，O两点在直线AB的同侧，连接OC．
（1）当t=1时，求$\frac{AC}{AO}$的值；
（2）求证：△APB∽△ACO；
（3）设△POC的面积为S，求S与t的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据t=1求出BP、OP，根据勾股定理求出AP，根据余弦的定义求出AC，计算即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AP}{AC}$=$\sqrt{2}$和∠BAO=∠PAC=45°，根据相似三角形的判定定理证明；
（3）分0＜t＜4、t=4和t＞4三种情况，根据等腰直角三角形的性质和正弦的定义以及三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）当t=1时，OP=3，OA=4，
在Rt△AOP中，AP=$\sqrt{O{P}^{2}+O{A}^{2}}$=5，
∵△ACP为等腰三角形，
∴AC=AP•cos45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$；
（2）证明：∵△AOB，△ACP都是等腰三角形，
∴$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AP}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠BAO=∠PAC=45°，
∴∠BAP=∠OAC，
∴△APB∽△ACO；
（3）①当0＜t＜4时，
∵△APB∽△ACO，
∴$\frac{BP}{OC}$=$\frac{AB}{AO}$=$\sqrt{2}$，∠AOC=∠ABP=45°，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
作CM⊥BO，垂足为M，
则CM=OC•sin45°=$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×OP×CM=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{4}$t²+t；
②当t=4时，点P与点O重合，△POC不存在；
③当t＞4时，BP=t，则OP=t-4．
由①得，S=$\frac{1}{2}$×=$\frac{1}{2}$×（t-4）×$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{4}$t²-t；
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}+t（0＜t＜4）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-t（t＞4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．