Question

7．如图，一次函数y₁=k₁x+b（k₁＞0）的图象经过点C（-3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，且AC=2BC．求k₂的值；
（3）在（2）的条件下，请写出当x在什么范围时，y₁＞y₂？

Answer 1

分析 （1）先一次函数y₁=k₁x+b（k₁＞0）的图象经过点C（-3，0），得出OC=3，由于一次函数y=k₁x+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则AE∥BF．由△ACE∽△BCF，对应边成比例得出AE=2BF．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．由直线AB的解析式得出A（3n-3，2n），B（-3-$\frac{3}{2}$n，-n），再根据反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象经过A、B两点，列出方程，解方程求出n的值，即可求得k₂．
（3）求出A、B的坐标，根据图象即可求得．

解答 解：∵一次函数y₁=k₁x+b（k₁＞0）的图象经过点C（-3，0），
∴OC=3，
∵△COD的面积等于3，
∴$\frac{1}{2}$OC•OD=3，
∴$\frac{1}{2}$×3•OD=3，
解得：OD=2．
∴b=2，
∴y₁=k₁x+2，
把（-3，0）代入得：0=-3k₁+2，解得k₁=$\frac{2}{3}$，
故这个一次函数的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2；

（2）如图，作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则AE∥BF．
∴△ACE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴AE=2BF．
设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2，
∴A（3n-3，2n），B（-3-$\frac{3}{2}$n，-n），
∵反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象经过A、B两点，
∴（3n-3）•2n=（-3-$\frac{3}{2}$n）•（-n），
解得n₁=2，n₂=0（不合题意舍去），
∴k₂=（3n-3）•2n=3×4=12．
（3）∵n=2，
∴A（3，4），B（-6，-2），
由图象可知当-6＜x＜0或x＞3时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．