Question

19．如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：对角线互相垂直，这条性质可用符号表示为：已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD．；
（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据筝形的定义可以证明△BAC≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；
（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．

解答 解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；
对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；
有一条对角线被另一条平分；
有一条对角线平分对角；
是轴对称图形．（写出一条即可）；
故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；
（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．
已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．
求证：四边形ABCD是筝形．
证明：在△BAC和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{AC=AC}\\{∠BAC=∠DCA}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△DAC，
∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．
其他正确的判定方法：
有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；
有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．

点评 本题考查了图形的对称以及全等三角形的判定，正确证明△BAC≌△DAC是解决本题的关键．