Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E、F分别是AC、BC边上的点，且CE=$\frac{1}{3}$AC，BF=$\frac{1}{3}$BC．
（1）求证：∠EDF=90°；
（2）若BC=6，AB=4$\sqrt{3}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△ACD∽△CBD，推出$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{CB}$，因为CE=$\frac{1}{3}$AC，BF=$\frac{1}{3}$BC，所以$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{BF}$，因为∠ECD=∠B，推出△ECD∽△FBD，推出∠CDE=∠BDF，即可解决问题．
（2）如图，作DM⊥AC于M．先求出AC，证明∠A=30°，在Rt△DEM中求出DM、ME，即可利用勾股定理解决．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{CB}$，
∵CE=$\frac{1}{3}$AC，BF=$\frac{1}{3}$BC，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{BF}$，∵∠ECD=∠B，
∴△ECD∽△FBD，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠EDF=∠CDB=90°．

（2）如图，作DM⊥AC于M．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4$\sqrt{3}$，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{48-36}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AC，
∴∠ACD=∠B=30°，∠A=60°，
∠ADM=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MD=$\sqrt{3}$AM=$\frac{3}{2}$，
∵EC=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EM=AC-AM-EC=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
$\sqrt{D{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．