Question

17．如图，直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，将其沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处．
（1）求AB与AC的长；
（2）求tan15°的值．

Answer 1

分析 （1）运用直角三角形的边角关系、勾股定理，求出AB、AC的长，即可解决问题．
（2）运用翻折变换的性质，证明DE=DC（设为λ），得到BD=1-λ；运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，∵∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2；由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
（2）由题意得：
DE=DC（设为λ），∠EAD=∠CAD=15°，
AE=AC=$\sqrt{3}$，∠AED=∠C=90°，
则BD=1-λ，BE=2-$\sqrt{3}$，∠BED=90°，
由勾股定理得：$（1-λ）^{2}=（2-\sqrt{3}）^{2}+{λ}^{2}$，
解得：λ=2$\sqrt{3}$-3，
故tan15°=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、正切函数的定义等知识点及其应用问题；应牢固掌握翻折变换的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．