Question

5．在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD平行AC，∠C=30°，求∠AOD=60°或23.79°．

Answer 1

分析 分AB=AC，AC=BC两种情况，利用等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数的定义进行分析求解．

解答 解：如图1，当AB=AC时，
∵O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∵OD∥AC，∠C=30°，
∴∠DOB=∠C=30°，
∴∠AOD=∠OAC=60°；
如图2，当AC=BC时，过B作BE⊥OD，OF⊥BD，设OB=a，
∴BC=AC=2a，
∵O是BC的中点，OD∥AC，
∴D为AB的中点，∠DOB=∠C=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=a，OD=OB，
又∵OF⊥AB，
∴DF=BF，∠DOF=$\frac{1}{2}$∠DOB=15°，
∵∠DOB=30°，BE⊥OB，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$a，
∴OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DE=a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a，
∴AB=2AD=$（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$a，DF=BF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$a，AF=$\frac{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{4}$a，
∵S_△OBD=$\frac{1}{2}$OD×BE=$\frac{1}{2}$×DB×OF，
∴OF=$\frac{OD×BE}{DB}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$a，
∵tan∠OAF=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$≈1.244，
∴∠OAF≈51.21°，
∴∠AOD=90°-∠OAF-∠DOF≈23.79°，
故答案为：60°或23.79°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是运用分类讨论思想求解，不要因考虑不周而漏解．