Question

12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是$\frac{35}{8}$．

Answer 1

分析 设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20-2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．

解答 解：如图，设AD=x，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
∴AB=25，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∵△ADE沿DE翻折得到△PDE

∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，
∴CD=20-x，
∵∠CPD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠2=∠B，
∴PC=BC=15，
∵CD²=CP²+PD²，
即（20-x）²=15²+x²，
∴x=$\frac{35}{8}$，
∴AD=$\frac{35}{8}$．
故答案为：$\frac{35}{8}$．

点评 此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．