Question

20．关于x的二次函数y=-x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A和C点坐标代入y=-x²+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）如图，作PH⊥AD于H，先把抛物线一般式配成顶点式得到D（-1，4），E（-1，0），再利用勾股定理计算出AD，设P（-1，t），则PE=PH=t，DP=4-t，然后证明Rt△DPH∽Rt△DAE，再利用相似比得到关于t的方程，解方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²-2x+3；
（2）存在．
如图，作PH⊥AD于H，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，D（-1，4），E（-1，0），
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设P（-1，t），则PE=PH=t，DP=4-t，
∵∠PDH=∠ADE，
∴Rt△DPH∽Rt△DAE，
∴$\frac{PH}{AE}$=$\frac{DP}{DE}$，即$\frac{t}{2}$=$\frac{4-t}{2\sqrt{5}}$，解得t=$\sqrt{5}$-1，
∴P点坐标为（-1，$\sqrt{5}$-1）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．