Question

18．如图，函数y=$\frac{k}{x}$的图象与直线x=2交于第一象限的点P，△AOP的面积等于$\frac{1}{2}$．
（1）利用图象，求当0＜x＜2时，y的取值范围；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数y=$\frac{k}{x}$图象上的任意不重合的两点，M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$试判断M，N的大小．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件易求出点P的坐标，然后只需结合图象就可解决问题；
（2）根据点P的坐标可求出反比例函数的解析式，从而得到y₁与x₁、y₂与x₂的关系，然后只需运用作差法就可解决问题．

解答 解：（1）由题意可得OA=2，S_△AOP=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}$×2×AP=$\frac{1}{2}$，
解得AP=$\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为（2，$\frac{1}{2}$）．
结合图象可得：
当0＜x＜2时，y的取值范围是y＞$\frac{1}{2}$；

（2）M＞N．
理由如下：∵点P（2，$\frac{1}{2}$）在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×$\frac{1}{2}$=1，y=$\frac{1}{x}$．
∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数y=$\frac{1}{x}$图象上的任意不重合的两点，
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，y₁≠y₂．
∵M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴M-N=（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）-（$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$）
=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}}$
=（y₁-y₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（y₁-y₂）²＞0，
∴M＞N．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，在解决问题的过程中用到了数形结合和作差法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．