Question

3．如图，点P是等腰Rt△ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足为E、F，设点D为BC中点，求证：△DEF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 欲证明△DEF是等腰直角三角形，只要证明DE=DF，∠EDF=90°，只要证明△DBE≌△DAF即可解决．

解答 证明：如图，连接AD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴PE=AF，
∵∠PEB=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BPE=45°
∴BE=PE=AF，
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AD}\\{∠B=∠DAF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DAF，
∴DE=DF，
∠BDE=∠ADF，
∴∠BDA=∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．