Question

17．正数a，b，c，d满足a+b+c+d=100，$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{b}{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac{d}{a+b+c}$=95，则$\frac{1}{b+c+d}$+$\frac{1}{a+c+d}$+$\frac{1}{a+b+d}$+$\frac{1}{a+b+c}$=$\frac{49}{50}$．

Answer 1

分析 要求分式的分母比较大，通分会很麻烦．可通过a+b+c+d=100，变形等式里的分式，$\frac{a}{b+c+d}=\frac{100-（b+c+d）}{b+c+d}$=$\frac{100}{b+c+d}-1$，利用整体代入的方法．

解答 解：因为a+b+c+d=100，
所以$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{b}{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac{d}{a+b+c}$=95可变形为
$\frac{100-（b+c+d）}{b+c+d}$+$\frac{100-（a+c+d）}{a+c+d}$+$\frac{100-（a+b+d）}{a+b+d}$+$\frac{100-（a+b+c）}{a+b+c}$=95
即$\frac{100}{b+c+d}-1$+$\frac{100}{a+c+d}$-1+$\frac{100}{a+b+d}-1$+$\frac{100}{a+b+c}$-1=95
所以$\frac{100}{b+c+d}$+$\frac{100}{a+c+d}$+$\frac{100}{a+b+d}$+$\frac{100}{a+b+c}$=95
所以$\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{49}{50}$
故答案为：$\frac{49}{50}$

点评 本题考查了分式的加减，等式的变形及分式除法的相关知识．利用a+b+c+d=100，变形$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{b}{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac{d}{a+b+c}$=95是解决本题的关键．