Question

10．如图1，在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CG}{CE}$=k，现将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度，连结DE与AF，得到图2．

（1）如图2，当k=$\frac{1}{2}$时?求$\frac{AC}{AB}$的值；?求$\frac{AF}{DE}$的值．
（2）如图2，请直接写出$\frac{AF}{DE}$的值．（用含k的代数式表示）
（3）如图3，设DC与AF交于点H，DE与AF交于点P，连结CP，问CP与AF具有怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由∠B=90°，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，推出AB=2BC，AC=$\sqrt{5}$BC，由此即可得出$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．②于$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CG}{CE}$=k，AD=BC，CG=EF，推出$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB}{CE}$，于∠ABC=∠CEF=90°，推出△ABC∽△CEF，推出$\frac{AC}{CF}$=$\frac{AB}{CE}$，由AB=CD，推出$\frac{AC}{CF}$=$\frac{DC}{CE}$，由∠ACF=∠DCE，推出△ACF∽△DCE，得到$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AC}{AB}$，由此即可解决问题．
（2）结论：$\frac{AF}{DE}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$．解法类似（1）．
（3）结论：CP⊥AF．只要证明AHD∽△CHP，即可推出∠CPH=∠ADH=90°．

解答 解：（1）①如图2中，

∵∠B=90°，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2BC，AC=$\sqrt{5}$BC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
②∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CG}{CE}$=k，AD=BC，CG=EF，
∴$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB}{CE}$，∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴△ABC∽△CEF，
∴$\frac{AC}{CF}$=$\frac{AB}{CE}$，∵AB=CD，
∴$\frac{AC}{CF}$=$\frac{DC}{CE}$，∵∠ACF=∠DCE，
∴△ACF∽△DCE，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$

（2）结论：$\frac{AF}{DE}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
理由：由（1）可知，△ACF∽△DCE，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵$\frac{AD}{AB}$=k，则BC=AD=k•AB，
∴AC=$\sqrt{1+{k}^{2}}$AB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
（3）结论：CP⊥AF．
理由是：如图3中，

由（1）可知：△ACF∽△DCE，
∴∠CAF=∠DCE，
∵∠AHC=∠DHP，
∴△ACH∽△DPH，
∴$\frac{AH}{DH}$=$\frac{CH}{PH}$，
∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{DH}{PH}$，
又∵∠AHD=∠CHP，
∴△AHD∽△CHP，
∴∠CPH=∠ADH=90°，
∴CP⊥AF．

点评 本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考压轴题．