Question

1．【问题】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；
【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
【拓展应用】
当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0＜n＜1），请直接写出S_△ABC：S_△AEF的值．

Answer 1

分析 【数学思考】在AC上截取CG=CE，连接GE，证明△AGE≌△EBF，得到答案；
【拓展应用】设BC=1，则BE=n，根据勾股定理求出AE²，根据等腰直角三角形的面积公式求解即可．

解答 解：
【探究发现】：相等；
【数学思考】
证明：如图2，点E在线段BC上，
在AC上截取CG=CE，连接GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB．
∴∠FEB=∠EAC．
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠AGE=∠EBF=135°．
在△AGE和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠EBF}\\{AG=BE}\\{∠EAG=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△EBF．
∴AE=EF；
【拓展应用】
设BC=1，则BE=n，
AE²=AC²+CE²=1+（n+1）²=n²+2n+2，
∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC²，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△AEF的面积$\frac{1}{2}$AE²，
∴S_△ABC：S_△AEF=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{\frac{1}{2}A{E}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n+2}$，
∴S_△ABC：S_△AEF=1：（n²+2n+2）．

点评 本题考查的是相似三角形的知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质、运灵活用“从特殊到一般”的数学思想是解题的关键．